LaTeX 教學系列: 數學排版
在掌握 LaTeX 排版的基礎之後，接下來要進入 LaTeX 最令人稱道的核心功能：數學排版。
排版的身影幾乎遍及各個領域，舉凡活動文宣、企劃書、書籍、網頁，無一不需要精心設計。在學術領域中，排版更是知識傳遞不可或缺的媒介——學術論文往往需要遵循嚴格的格式規範，包含頁邊距、字體大小、行距、引用格式等，以確保刊登於學術期刊或研討會時的一致性與可讀性。
為什麼需要數學排版？
如前所述，不同領域的學術排版各有其規範，正所謂「隔行如隔山」。人文社會領域與理工領域的排版需求便大相逕庭：理工領域高度仰賴數學表達，舉凡模型設定、模擬結果等，幾乎都離不開數學式。然而使用 Word 排版時，往往難以達到理想的呈現效果，加上 Word 內建的數學輸入介面並不直覺。正因為 LaTeX 是專為專業數學排版所設計的工具，透過它強大的數學排版系統，便能輕鬆排出精確、美觀的數學式。
數學排版基本設定
在正式進入數學排版教學之前，有一件事值得先釐清：TeX 系統本身僅提供最基礎的排版能力，若需要更進階的功能，就必須仰賴外部套件的協助。
在眾多數學相關套件中，最廣泛使用的是 amsmath、amssymb、amsfonts、amsthm 這四個套件，皆由美國數學學會（American Mathematical Society, AMS）開發與維護，合稱 AMS 套件組。各套件的主要功能如下表所示：
行內與行間公式
LaTeX 的數學模式分為兩大類：行內公式 （inline math） 將數學式嵌入段落文字中，與正文混排；行間公式 （display math） 則讓方程式單獨置中成行，適合需要突顯或結構較複雜的數學式。
行內公式
行內數學模式適合在說明文字中穿插簡短的符號或式子，例如「設 \(n > 0\)」或「令 \(f(x) = x^2\)」，讀起來自然，也不會影響行距。LaTeX 提供三種等效的行內公式語法：
| 語法 | 說明 |
|---|---|
$...$ |
最常見的簡潔寫法，推薦使用 |
\(...\) |
LaTeX 原生語法，語意更明確 |
\begin{math}...\end{math} |
完整環境語法，較冗長，少用 |
三種語法效果完全相同，習慣上仍以 $...$ 以及 \(...\) 為主。
\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\begin{document}
$a^2 + b^2 = c^2$\\ % 最常用，推薦使用
\( a^2 + b^2 = c^2 \)\\ % LaTeX 原生語法
\begin{math} a^2 + b^2 = c^2 \end{math}\\ % 完整環境語法，少用
\end{document}行間公式
不同於行內模式，行間數學模式適合用於需要強調、獨立呈現的方程式，或含有分數、積分、矩陣等垂直空間較大的數學式。
| LaTeX 語法 | 說明 |
|---|---|
\begin{displaymath}...\end{displaymath} |
不帶編號的行間公式環境 |
\[...\] |
displaymath 的簡化語法，推薦使用 |
$$...$$ |
與 displaymath 等效，可搭配 \eqno、\leqno 人工編號 |
\begin{equation}...\end{equation} |
自動編號的行間公式環境 |
其中 equation 環境在學術寫作中最為常用，因為論文通常需要替重要公式加上編號，以便在文中交互引用。
\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\begin{document}
\begin{displaymath} % 不帶編號的行間公式
E = mc^2
\end{displaymath}
\[ E = mc^2 \] % displaymath 的簡化語法，推薦
$$ E = mc^2 $$ % 等效於 displaymath
\begin{equation} % 自動產生公式編號
E = mc^2
\end{equation}
\end{document}數學符號
了解完行內與行間公式後，接下來就要開始應用。LaTeX 內建了極為豐富的數學符號庫，涵蓋希臘字母、運算子、關係符號、集合符號等各類型，是學術寫作不可或缺的工具。礙於篇幅限制，以下僅列出最常用的符號，完整清單請參考官方符號表。
希臘字母
希臘字母在數學、統計與物理中極為常見，例如 \(\alpha\)、\(\beta\) 常作為迴歸係數，\(\sigma\) 表示標準差，\(\Sigma\) 表示求和，\(\pi\) 表示圓周率。1
| 指令 | 符號 | 指令 | 符號 |
|---|---|---|---|
\alpha / A |
\(\alpha A\) | \nu / N |
\(\nu N\) |
\beta / B |
\(\beta B\) | \xi / \Xi |
\(\xi\Xi\) |
\gamma / \Gamma |
\(\gamma\Gamma\) | o / O |
\(oO\) |
\delta / \Delta |
\(\delta\Delta\) | \pi / \Pi |
\(\pi\Pi\) |
\epsilon / \varepsilon / E |
\(\epsilon\,\varepsilon\, E\) | \rho / \varrho / P |
\(\rho\,\varrho\, P\) |
\zeta / Z |
\(\zeta Z\) | \sigma / \Sigma |
\(\sigma\Sigma\) |
\eta / H |
\(\eta H\) | \tau / T |
\(\tau T\) |
\theta / \vartheta / \Theta |
\(\theta\,\vartheta\,\Theta\) | \upsilon / \Upsilon |
\(\upsilon\Upsilon\) |
\iota / I |
\(\iota I\) | \phi / \varphi / \Phi |
\(\phi\,\varphi\,\Phi\) |
\kappa / K |
\(\kappa K\) | \chi / X |
\(\chi X\) |
\lambda / \Lambda |
\(\lambda\Lambda\) | \psi / \Psi |
\(\psi\Psi\) |
\mu / M |
\(\mu M\) | \omega / \Omega |
\(\omega\Omega\) |
常用數學符號
除了希臘字母之外，LaTeX 也提供了大量用於描述數學關係與運算的符號。這些符號大致可分為兩類：
運算與關係符號是數學式中最頻繁出現的元素，涵蓋四則運算的延伸 （\times、\div、\pm、\cdot）、大小關係 （\leq、\geq、\ll、\gg）、近似與等價關係 （\approx、\equiv、\sim、\propto），以及微積分中常見的偏微分與無窮大。
| 指令 | 符號 | 指令 | 符號 | 指令 | 符號 |
|---|---|---|---|---|---|
\times |
\(\times\) | \leq |
\(\leq\) | \approx |
\(\approx\) |
\div |
\(\div\) | \geq |
\(\geq\) | \equiv |
\(\equiv\) |
\pm |
\(\pm\) | \neq |
\(\neq\) | \sim |
\(\sim\) |
\cdot |
\(\cdot\) | \ll |
\(\ll\) | \propto |
\(\propto\) |
\infty |
\(\infty\) | \gg |
\(\gg\) | \partial |
\(\partial\) |
集合與邏輯符號則在離散數學、線性代數與統計理論中不可或缺。集合運算包含聯集（\cup）、交集（\cap）、包含關係（\subset、\subseteq）與空集合（\emptyset）；邏輯量詞則有全稱（\forall）、存在（\exists）與蘊含（\Rightarrow、\Leftrightarrow）。\nabla（梯度算子）則常見於向量微積分與機器學習的推導中。
| 指令 | 符號 | 指令 | 符號 | 指令 | 符號 |
|---|---|---|---|---|---|
\in |
\(\in\) | \cup |
\(\cup\) | \forall |
\(\forall\) |
\notin |
\(\notin\) | \cap |
\(\cap\) | \exists |
\(\exists\) |
\subset |
\(\subset\) | \emptyset |
\(\emptyset\) | \Rightarrow |
\(\Rightarrow\) |
\subseteq |
\(\subseteq\) | \nabla |
\(\nabla\) | \Leftrightarrow |
\(\Leftrightarrow\) |
箭頭符號在數學推導中扮演重要角色，舉凡蘊含關係（\(A \Rightarrow B\)）、函數映射（\(f: X \rightarrow Y\)）、極限趨近（\(x \rightarrow \infty\)）乃至向量空間的線性映射，都仰賴箭頭符號來表達方向與邏輯關係。
| 指令 | 符號 | 指令 | 符號 |
|---|---|---|---|
\rightarrow |
\(\rightarrow\) | \leftarrow |
\(\leftarrow\) |
\uparrow |
\(\uparrow\) | \downarrow |
\(\downarrow\) |
\Rightarrow |
\(\Rightarrow\) | \Leftarrow |
\(\Leftarrow\) |
\Uparrow |
\(\Uparrow\) | \Downarrow |
\(\Downarrow\) |
\rightharpoonup |
\(\rightharpoonup\) | \leftharpoonup |
\(\leftharpoonup\) |
\rightharpoondown |
\(\rightharpoondown\) | \leftharpoondown |
\(\leftharpoondown\) |
\longrightarrow |
\(\longrightarrow\) | \longleftarrow |
\(\longleftarrow\) |
\hookrightarrow |
\(\hookrightarrow\) | \hookleftarrow |
\(\hookleftarrow\) |
\rightarrow 還是 \to？
在 LaTeX 中，\to （\(\to\)） 與 \rightarrow （\(\rightarrow\)） 產生的符號完全相同，但語意上有所區別。\to 更加簡潔，且在表達極限時語意更明確，因此通常建議在極限運算中使用 \to，例如：
\[ \lim_{x \to \infty} f(x) \]
而 \rightarrow 則適合用在其他需要明確表示方向的場合，例如函數映射 \(f: X \rightarrow Y\)。
數學字體在公式排版中同樣舉足輕重。不同的字體傳達不同的數學意涵，例如向量慣例用粗體、數系用黑板粗體、分布名稱用花體，若字體用錯，讀者可能產生誤解。LaTeX 提供一系列數學字體指令，常用者如下：
| 指令 | 效果 | 常見用途 |
|---|---|---|
\mathcal{N} |
\(\mathcal{N}\) | 花體，常用於機率分布、集合族 |
\mathbb{R} |
\(\mathbb{R}\) | 黑板粗體，常用於數系 |
\mathbf{v} |
\(\mathbf{v}\) | 粗體，多用於向量與矩陣 |
\mathrm{d} |
\(\mathrm{d}\) | 正體，用於微分符號、單位縮寫或運算子名稱 |
\boldsymbol{\alpha} |
\(\boldsymbol{\alpha}\) | 粗體希臘字母與符號，需載入 amsmath |
\mathbb 與 \mathcal 需載入 amssymb 套件方能使用；\boldsymbol 則需 amsmath。
將上述符號與字體組合起來，便能精確描述複雜的數學關係。統計迴歸模型、常態分布假設與集合包含定義，都是日常學術寫作中的典型場景，範例如下：
\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb} % 提供額外數學符號
\begin{document}
\begin{equation} % 線性迴歸模型
y_i = \alpha + \beta x_i + \varepsilon_i
\end{equation}
\begin{equation} % 誤差項的常態分布假設
\varepsilon_i \sim \mathcal{N}(0,\, \sigma^2), \quad \sigma > 0
\end{equation}
\begin{equation} % 集合包含關係的邏輯定義
A \subseteq B \iff \forall x \in A \Rightarrow x \in B
\end{equation}
\end{document}進階設定
掌握基本符號之後，實際撰寫數學論文時還會遇到許多排版細節：分數的大小、根號的層次、括號的自動縮放、多行公式的對齊、矩陣的呈現等。這些進階功能主要由 amsmath 提供，是讓公式從能看到好看的關鍵。
分數與根號
分數 （fraction） 使用 \frac{分子}{分母}，在行間公式中會自動放大；若在行內公式中希望強制使用較大的顯示尺寸，可改用 \dfrac。
根號 （square root） 則使用 \sqrt{...}，開 \(n\) 次方根加上選擇性參數 \sqrt[n]{...} 即可。
\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\begin{document}
$\frac{a}{b}$\\ % 行內分數
$\dfrac{a}{b}$\\ % 強制大分數
\[
% 二次公式
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
\[
% 三次方根與巢狀根號
\sqrt[3]{8} = 2, \quad \sqrt{\sqrt{x}} = x^{\frac{1}{4}}
\]
\end{document}空白與文字
寫過幾篇數學文章之後，你可能會發現一件令人困惑的事：為什麼明明在原始碼中加了空格，LaTeX 卻視而不見？這是因為數學模式有自己的間距邏輯——它會根據符號的類型（運算子、關係符號、普通符號等）自動決定前後的間距，而不理會你輸入的空白字元。
大多數情況下，這套自動邏輯運作得很好；但在某些細節上，例如微分符號前的薄空白、積分記號後的分隔，或條件式前後的留白，就需要手動微調，才能符合數學排版的傳統慣例。因此，若需手動調整間距，可使用以下指令：
| 指令 | 間距大小 | 常見用途 |
|---|---|---|
\, |
細空白 （thinspace） | 微分符號前、數字與單位間 |
\: |
中空白 （medspace） | 二元運算子前後 |
\; |
粗空白 （thickspace） | 強調間距 |
\quad |
1em | 條件說明、並排公式 |
\qquad |
2em | 較大的段落分隔 |
除了間距之外，另一個常見需求是在公式中插入說明性文字，例如「其中 \(x > 0\)」或「若 \(n\) 為奇數」。若直接在數學模式中輸入字母，這些字母會被視為變數並以斜體排版——if 會被排成像 \(if\) 這樣（讓人誤以為是 \(i \cdot f\)）。正確的做法是使用 \text{...} 包裹，文字便會以正體排版，視覺上清楚地與數學符號區隔。
\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\begin{document}
\[
f(x) = x^2 \quad \text{ where } \quad x \in \mathbb{R} % \text{} 插入正體文字
\]
\[
\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x % \, 使 dx 與被積函數分開
\]
\end{document}括號與定界符
初學者常犯的一個視覺錯誤，是將分數或根號直接放進括號裡，結果括號的高度完全不夠，顯得格格不入。想像 \((\frac{a+b}{c+d})^2\) 這樣的排版：括號的高度和普通字母差不多，卻要包住一個高聳的分數，讀起來既奇怪又難辨識邊界。
解法十分簡單：在括號前後分別加上 \left 與 \right，LaTeX 便會自動測量內容高度並放大括號。此技巧適用於所有定界符，包括方括號 [ ]、大括號 \{ \}、絕對值 | |，乃至上下混搭（左圓括號搭右方括號）。
若需手動指定大小，可使用 \bigl、\Bigl、\biggl、\Biggl（由小到大）；這在某些情況下比自動縮放更精準。另外，若只需要單側定界符（例如導函數的「豎線取值」\(\frac{d}{dx}x^2\big|_{x=3}\)），可用 \left. 搭配 \right| 來構成一個隱形左邊界。
\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\begin{document}
% 自動縮放括號
\[
\left( \frac{a}{b} + \frac{c}{d} \right)^2 % \left \right 自動縮放
\]
% 手動指定大小
\[
\bigl( x \bigr), \quad
\Bigl( x \Bigr), \quad
\biggl( x \biggr), \quad
\Biggl( x \Biggr) % 四種手動尺寸
\]
% 單側定界符：導函數取值
\[
\left. \frac{d}{dx} x^2 \right|_{x=3} = 6 % \left. 為隱形左邊界
\]
\end{document}省略號
省略號看似小事，但位置放錯很容易讓公式顯得不專業。關鍵在於：省略號的垂直位置應當與它所代替的符號對齊。在 \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) 這樣以逗號分隔的序列中，逗號落在基線，省略號也應在基線（\ldots）；在 \(a_1 + a_2 + \cdots + a_n\) 這樣的加法鏈中，加號在中線高度，省略號也應在中線（\cdots）。若弄反了，讀者大多數時候仍能看懂，但版面的精緻感就差強人意。
若不確定應用哪個，amsmath 提供的 \dots 指令會根據前後文自動選擇，是個安全的折中方案。撰寫矩陣時則另有垂直省略的 \vdots 與對角省略的 \ddots，三者常常搭配使用。
| 指令 | 效果 | 使用場合 |
|---|---|---|
\ldots |
\(\ldots\) | 基線，用於逗號分隔的序列（\(a_1, a_2, \ldots, a_n\)） |
\cdots |
\(\cdots\) | 中線，用於加法或乘法序列（\(a_1 + \cdots + a_n\)） |
\vdots |
\(\vdots\) | 垂直，用於矩陣的行省略 |
\ddots |
\(\ddots\) | 對角線，用於矩陣的對角省略 |
\dots |
\(\dots\) | 自動判斷位置，適合大多數情況 |
\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\begin{document}
\[
a_1, a_2, \ldots, a_n % 基線省略號（序列）
\]
\[
a_1 + a_2 + \cdots + a_n % 中線省略號（加法）
\]
\[
\begin{pmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix} % 矩陣中的省略號組合
\]
\end{document}對齊環境
數學推導很少能在一行內完成。當展開一個乘積、化簡一個積分，或逐步推導一個等式鏈時，往往需要多行，而且讀者期待每一行的等號整齊對齊——這是數學排版中無聲的慣例，幾乎所有教科書和論文都遵循此慣例。
使用單行的 equation 環境放不下如此長的推導，強行換行也不會自動對齊。LaTeX 的 align 環境正是為此而生：
&：標記對齊點，通常放在欲對齊的符號前\\：換行，每一行還會自動加上獨立的方程式編號，方便在文中引用2
當公式非常長，或想讓整個推導只顯示一個編號時，可在 equation 環境內嵌套 aligned 子環境，兼顧多行對齊與單一編號的需求。
\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\begin{document}
\begin{align}
(a + b)^2 &= a^2 + 2ab + b^2 \\ % 第一行，有編號
(a - b)^2 &= a^2 - 2ab + b^2 % 第二行，有編號
\end{align}
\begin{align*}
f(x) &= x^2 + 3x + 2 \\ % 無編號版本
&= (x + 1)(x + 2) % & 對齊等號
\end{align*}
\end{document}矩陣
矩陣在線性代數、統計學、機器學習等領域無所不在——從描述線性變換到表示共變異數結構，都少不了它。LaTeX 提供了多種矩陣環境，差別僅在於周圍的括號樣式，矩陣內部以 & 分隔同一列的元素，以 \\ 換列，語法和 align 環境完全一致，學會一種就能觸類旁通。
| 環境 | 括號樣式 | 效果 |
|---|---|---|
matrix |
無 | \(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}\) |
pmatrix |
圓括號 | \(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\) |
bmatrix |
方括號 | \(\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\) |
vmatrix |
單豎線 | \(\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}\) |
\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\begin{document}
\[
\mathbf{A} = \begin{bmatrix} % 方括號矩陣
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{bmatrix}
\]
\end{document}分段函數
分段函數是另一個常見需求：根據輸入值的範圍套用不同公式，最典型的例子是絕對值定義或 Heaviside 階梯函數，如：
\[ |x| = \begin{cases} x, &\text{if } x \geq 0,\\ -x, &\text{if } x < 0 \end{cases} \]
cases 環境讓左側公式與右側條件自動對齊，並在最左側加上一個大括號，是撰寫任何分段定義時的標準寫法。
\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\begin{document}
\[
f(x) = \begin{cases} % 分段函數
x^2 & \text{若 } x \geq 0 \\
-x^2 & \text{若 } x < 0
\end{cases}
\]
\end{document}自訂數學運算子
翻開統計或機器學習的論文，你很快就會遇到 \(\text{var}(X)\)、\(\text{cov}(X, Y)\)、\(\text{tr}(\mathbf{A})\) 這類符號。初學者可能直覺地用 \text{Var} 或甚至直接打 var，但這兩種方式都有問題：直接輸入的 \(var\) 會以斜體呈現，看起來像三個相乘的變數；而 \text{var} 雖然是正體，但前後間距與 \sin、\log 這類內建函數不一致，視覺上顯得突兀。正確的做法是將它們定義為數學運算子 （math operator），讓 LaTeX 以和內建函數完全相同的規則排版——包括前後間距與上下限標記的位置。
使用 \operatorname{...} 可以在行內臨時定義一個運算子名稱；若同一個運算子在文件中重複出現，更建議在序言中以 \DeclareMathOperator 統一聲明。需要支援上下限標記（如 \(\operatorname*{argmax}_{x}\)）的運算子，則改用 \DeclareMathOperator*。
\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\DeclareMathOperator{\var}{var} % 定義變異數運算子
\DeclareMathOperator{\cov}{cov} % 定義共變異數運算子
\DeclareMathOperator{\tr}{tr} % 定義跡運算子
\begin{document}
\[
\var(X) = \mathbb{E}[X^2] - (\mathbb{E}[X])^2 % 使用自訂運算子
\]
\[
\cov(X, Y) = \mathbb{E}[XY] - \mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y]
\]
\[
\operatorname{rank}(\mathbf{A}) \leq \tr(\mathbf{A}) % \operatorname 臨時定義
\]
\end{document}方程式
上一節介紹的 align 環境適合有邏輯關係的多行推導；但更普遍的場景是：只有一條公式，需要給它一個編號以便在正文中交叉引用。這正是 equation 環境的用途。本節進一步介紹如何處理過長的方程式，以及如何並排幾條互不相關的方程式。
equation 環境
equation 環境是撰寫帶編號單行方程式的標準選擇：公式自動置中，右側附上連續的方程式編號。初學者常問
\[...\]和equation有什麼差別？
差就差在編號！
\[...\] 讓公式顯示成行間公式但不附編號；equation 則在右側自動加上 (1)、(2) 這樣的編號，讓你在正文中能以「式 (1)」的方式引用。
\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\begin{document}
\begin{equation}
e^{i\pi} + 1 = 0 % 歐拉恆等式
\end{equation}
\begin{equation}
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,\mathrm{d}x = \sqrt{\pi} % 高斯積分
\end{equation}
\end{document}長方程式
遇到特別長的方程式，硬是塞在一行往往溢出頁面，排版難以接受，簡直不可饒恕。此時可以用 split 環境巢狀在 equation 內，將一條長方程式拆成多行並以 & 對齊——但整個 equation 仍只有一個編號，視覺上仍是完整的一條式子。
\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\begin{document}
\begin{equation}
\begin{split}
(a + b + c)^2
&= a^2 + b^2 + c^2 \\
&\quad + 2ab + 2bc + 2ca % 第二行以 \quad 縮排
\end{split}
\end{equation}
\end{document}方程式置中
gather 環境讓多條互不相關的方程式各自置中排列，每一行自動取得獨立的編號。與 align 的差異在於：align 以 & 為對齊軸，適合有邏輯關聯的推導鏈；gather 則讓每條式子各自置中，適合並列幾條獨立公式。加上星號改用 gather* 可取消編號。
\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\begin{document}
\begin{gather}
a + b = c \\ % 每行各自置中、各自編號
x^2 + y^2 = z^2 \\
e^{i\pi} + 1 = 0
\end{gather}
\end{document}數學環境
撰寫數學論文或講義，除了公式本身，還需要呈現定理、引理、定義、推論與證明這些邏輯結構。amsthm 套件提供了一套完整的機制，讓你用一行設定就能建立具有自動編號、一致格式的數學環境，讓讀者能一眼辨別當前閱讀的是定義還是定理。
帶編號數學環境
在前言區使用 \newtheorem{環境名}{顯示名稱} 即可建立帶編號的數學環境。顯示名稱是排版時呈現給讀者的文字，環境名則是你在文中呼叫 \begin{...} 時使用的識別符。此外，還可透過可選參數控制計數器的行為：
\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]：計數器依章節重置，產生「定理 2.1」、「定理 2.2」這樣的階層編號。\newtheorem{corollary}{Corollary}[theorem]：計數器跟隨theorem重置，使推論與所源自的定理共享計數器深度。\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}：與theorem共用同一計數器，讓引理與定理的編號連續排列。
\documentclass{article}
\usepackage{amsmath, amsthm}
\newtheorem{theorem}{Theorem}[section] % 按章節編號
\newtheorem{corollary}{Corollary}[theorem] % 跟隨定理計數器
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma} % 共用定理計數器
\begin{document}
\section{Linear Algebra}
\begin{theorem}
Let $A$ be an $n \times n$ invertible matrix. Then the
column vectors of $A$ form a basis for $\mathbb{R}^n$.
\end{theorem}
\begin{lemma}
If $\det(A) \neq 0$, then $A$ is invertible.
\end{lemma}
\begin{corollary}
If $A$ is invertible, the homogeneous system
$A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ has only the trivial solution.
\end{corollary}
\end{document}無編號數學環境
並非所有的數學陳述都需要編號。備註、說明或例子通常不需要在文中被引用，強行給它們編號反而讓讀者以為漏掉了什麼。使用 \newtheorem*{環境名}{顯示名稱}（加上星號）即可建立無編號版本。
\documentclass{article}
\usepackage{amsmath, amsthm}
\newtheorem*{remark}{Remark} % 無編號備註環境
\newtheorem*{example}{Example} % 無編號例子環境
\begin{document}
\begin{example}
Let $f(x) = x^2$. Find $f'(x)$.
\end{example}
\begin{remark}
The result holds for all $x \in \mathbb{R}$.
\end{remark}
\end{document}定義環境設定
amsthm 預設提供三種排版風格，透過 \theoremstyle{樣式} 切換，影響的是顯示名稱與內文的字體格式：
plain（預設）：顯示名稱粗體、內文斜體，用於定理、引理、命題等需要突出的陳述。definition：顯示名稱粗體、內文正體，用於定義、例子等內容較為具體的環境。remark：顯示名稱斜體、內文正體，用於備註、說明等輔助性內容。
\theoremstyle 一旦宣告，之後的所有 \newtheorem 都套用該風格，直到下一個 \theoremstyle 出現為止，因此建議在前言區按風格分組宣告。
\documentclass{article}
\usepackage{amsmath, amsthm}
\theoremstyle{plain}
\newtheorem{theorem}{Theorem}[section] % 斜體內文
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}{Definition}[section] % 正體內文
\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{remark}{Remark} % 斜體標題、正體內文
\begin{document}
\section{Topology}
\begin{definition}[Topological Space]
Let $X$ be a set and $\tau$ a collection of subsets of $X$.
If $\tau$ satisfies the three open-set axioms, $(X, \tau)$ is a topological space.
\end{definition}
\begin{theorem}
Every closed subset of a compact topological space is compact.
\end{theorem}
\begin{remark}
The converse holds in Hausdorff spaces.
\end{remark}
\end{document}證明環境
amsthm 內建了 proof 環境，無需額外宣告即可直接使用。proof 環境會在開頭自動印出「Proof.」，並在結尾右下角附上 QED 符號 \(\square\)，代表「此證明完畢 （quod erat demonstrandum）」。若需要更換 QED 符號，可在前言區以 \renewcommand{\qedsymbol}{...} 修改。
\documentclass{article}
\usepackage{amsmath, amsthm}
\newtheorem{theorem}{Theorem}
\renewcommand{\qedsymbol}{$\blacksquare$} % 將 QED 改為實心方塊
\begin{document}
\begin{theorem}
$\sqrt{2}$ is irrational.
\end{theorem}
\begin{proof}
Suppose $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$ with $p, q \in \mathbb{Z}$ coprime.
Then $p^2 = 2q^2$, so $p^2$ is even and hence $p$ is even.
Write $p = 2k$; substituting gives $q^2 = 2k^2$,
so $q$ is also even, contradicting $\gcd(p, q) = 1$.
\end{proof}
\end{document}公式練習與轉換工具
TeXnique：LaTeX 公式排版遊戲
TeXnique 是一個 LaTeX 公式排版遊戲，而不只是查語法網站，有點像打字遊戲 + 解謎：看到目標公式，接著要用正確的 LaTeX 指令把它還原。每過一關，就都會更熟悉符號、括號、上下標與空白控制，久而久之會建立出一種很實用的肌肉反射：看到數學式，腦中就會自然浮現對應的 LaTeX 寫法。3
如果目前的狀態是懂概念但寫不快，或是常常知道要什麼符號但忘記指令，TeXnique 非常適合當每日 10 分鐘的練習工具。其價值不在於取代你寫正式文件，而是幫你降低實作摩擦，將注意力從「這行又報錯了」轉回「到底要表達什麼數學內容」。
下面這支影片可以先幫你建立使用情境，理解它為什麼對初學者與進階使用者都實用：
看完之後可以立刻做一個小練習：挑三條最近最常用的公式（例如一條極限、一條矩陣、一條分段函數），在 TeXnique 裡重打到不看提示也能完整輸出。正所謂：不積跬步，無以至千里，經過反覆的訓練，短時間雖然很煩躁，但一兩週後會明顯感覺到寫作順暢度提升，尤其是作為死線戰士時會非常有感。
Mathpix Snip：圖片公式轉 LaTeX
Mathpix Snip 的核心用途是把圖片中的公式快速轉成 LaTeX。Mathpix Snip 很適合用在資料來源不是純文字的情境，例如PDF 講義、老師手寫白板、投影片截圖，或者平板筆記裡的推導。這些內容如果逐字重打，通常耗時而且耗神，而且最容易在小地方打錯。
不過要提醒的是，它再聰明也不是零失誤。建議至少做三層檢查：第一層看相似字元（l、1、I、O、0）；第二層看上下標巢狀結構（像 x^{a_b}、\sum_{i=1}^n）；第三層看括號與定界符是否完整配對（(、[、\{）。只要這三層有做，錯誤率會大幅下降。
下面這支影片示範了 Mathpix Snip 的基本操作流程，先看一次會更容易上手：
再次重申，看完後建議為自己建立一個兩段式工作流：先用 Mathpix 把來源公式批次轉出，再回到 LaTeX 文件逐段校對與統一風格（像運算子命名、空白慣例、括號大小）。在同時兼顧效率時，也保證輸出的數學公式有一定程度的品質。
練習題
問題 1
若你要在論文中輸入「可被編號，且可交叉引用」的單行方程式，最適合使用哪個環境？
答案：C — equation
equation 會自動產生方程式編號，最適合用於需要在正文中引用的公式。\[...\] 與 displaymath 只會顯示行間公式，不會編號。
問題 2
在 align 環境中，哪個符號用來標記對齊位置（通常是等號位置）？
答案：B — &
在 align 內，& 是對齊錨點；\\ 則是換行。通常會把 & 放在 = 前面，讓多行公式沿著等號整齊排列。
問題 3
若要在公式中插入一般文字說明（例如 if, where），避免被當成斜體變數，應該使用哪個指令？
答案：D — \text{}
\text{} 會在數學模式中插入正體文字，適合放說明詞句。\operatorname{} 主要用於定義運算子名稱，例如 \operatorname{rank}。
問題 4
請寫出一段 LaTeX 程式碼，將下列分段函數正確排版：
\[ f(x)= \begin{cases} x^2, & x \ge 0\\ -x^2, & x < 0 \end{cases} \]
\[
f(x) = \begin{cases}
x^2, & x \ge 0 \\
-x^2, & x < 0
\end{cases}
\]cases 環境會自動提供左大括號，並用 & 對齊條件欄位，是分段函數的標準寫法。
問題 5
請在序言區宣告 argmax 這個運算子，並在本文中輸出：
\[ \arg \max_{x \in \mathbb{R}} f(x) \]
\usepackage{amsmath}
\DeclareMathOperator*{\argmax}{arg\,max}
\[
\argmax_{x \in \mathbb{R}} f(x)
\]使用 \DeclareMathOperator* 可讓上下限在行間模式下像 \sum 一樣排在符號上下，排版較符合數學慣例。
本章小結
這一章完整介紹了 LaTeX 數學排版的核心流程：先理解行內與行間公式的差異，再建立常用符號與字體的使用習慣，接著進入分數、根號、括號縮放、空白控制與省略號等進階細節。你也學會了用 align、equation、split、gather 處理不同型態的方程式，以及用矩陣與 cases 環境呈現線性代數與分段函數。
在更正式的學術寫作中，amsthm 提供了定理、定義、備註與證明等數學環境，讓文件不只公式漂亮，邏輯結構也更清楚。當你能把這些環境組合運用，LaTeX 就不只是「打公式工具」，而是完整的數學寫作系統。
掌握本章後，你已具備撰寫大多數課堂作業、研究報告與論文數學段落的能力。下一步可以練習加入標籤（\label）與交叉引用（\ref），讓長篇文件的可讀性再提升一個層次。
腳註
請注意，雖然 \(\Pi\) （
\Pi） 與 \(\prod\) （\prod）、\(\Sigma\) （\Sigma） 與 \(\sum\) （\sum） 外形相似，但用途截然不同：\Pi與\Sigma是純粹的希臘字母，通常用於代表某個數學量；而\prod與\sum則是大型運算子 （large operator），會在行間公式中自動產生上下標位置，分別對應連乘積 （\(\prod_{i=1}^{n}\)） 與求和 （\(\sum_{i=1}^{n}\)），在使用上切勿混用。↩︎若不需要編號，改用
align*即可。↩︎剛開始接觸 LaTeX 時，最常卡住的不是高深數學，而是排版小細節。像是
\left和\right什麼時候該用、align的&放哪裡比較整齊、為什麼同樣是分數\frac和\dfrac看起來差很多。當時最痛苦的是每改一點都要回到整份文件重編譯，等待、看結果、再改、再編譯。後來把 TeXnique 當成「暖身場」，先在小範圍把寫法練熟，再貼回主文件，速度快非常多。↩︎